第2课时 组合的综合应用
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)
2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)
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通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.
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组合数的两个性质
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【例1】 计算：(1)C＋C＋C＋…＋C；
(2)(C＋C)÷A.
[思路点拨] (1)利用组合数的公式及性质，逐一进行证明或计算．
(2)中排列数公式和组合数公式的综合运用．
[解] (1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C－C＝C＋C＋C＋…＋C－1
＝…＝C－1＝329.
(2)(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝.
组合数公式C＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式C＝的主要作用有：
(1)计算m，n较大时的组合数；
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.,特别地，当m>时计算C，用性质C＝C转化，减少计算量.
1．解方程C＝C.
[解] 由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝8或n＝2.而当n＝8时，3n＋6＝30>18，不符合组合数的定义，故舍去．因此n＝2.
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有限制条件的组合问题
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【例2】 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
[解] (1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种．或采用排除法有C－C＝825种．
(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．
(3)分两种情况：
第一类：女队长当选，有C种；
第二类：女队长不当选，
有C·C＋C·C＋C·C＋C种．
故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．
在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
[解] 分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C＝462种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C＋C＝660种选法．
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122种．
常见的限制条件及解题方法
1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
