第1章 导数及其应用
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
|
|
导数的几何意义
|
【例1】 已知函数f (x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解] (1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1.
解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f ′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
