1.7 定积分的简单应用
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)
2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)
|
通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.
|
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f (x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f (x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
|
f (x)的符号
|
平面图形的面积与定积分的关系
|
|
f (x)≥0
|
S＝f (x)dx
|
|
f (x)＜0
|
S＝－f (x)dx
|
(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区间[a，b]上有f (x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f (x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f (x)－g(x)]dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？
[提示] 不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．
3．变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝F(x)dx.
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A．(x－x3)dx B．(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx
C [由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．
显然S＝2(x－x3)dx.]
2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )
A．46 m B．46.5 m
C．87 m D．47 m
B [s＝(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．]
3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.
14 [由题意可知，力F(x)所作的功
W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14 J．]
