1.6 微积分基本定理
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)
2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)
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1.通过微积分基本定理的学习，体现了数学抽象的核心素养.
2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.
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1．微积分基本定理
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内容
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如果f (x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f (x)，那么f (x)dx＝F(b)－F(a).
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符号
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f (x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).
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思考：满足F′(x)＝f (x)的函数F(x)唯一吗？
[提示] 不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则f (x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则f (x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则f (x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f (x)dx＝0.
图① 图② 图③
1．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )
A．f (x)＝x－2 B．f (x)＝x－2＋C
C．f (x)＝x2－2x＋C D．f (x)＝x2－2x
[答案] C
2．cos xdx＝________.
1 [cos xdx＝sin x＝sin －sin 0＝1.]
3．如图所示，定积分f (x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f (x)dx＝________.
S1－S2＋S3 [根据定积分的几何意义知f (x)dx＝S1－S2＋S3.]
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求简单函数的定积分
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【例1】 求下列定积分．
(1)(2x＋ex)dx；
(2)dx；
(3) dx；
(4)(x－3)(x－4)dx.
[解] (1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
