1.5 定积分的概念
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解定积分的概念．(难点)
2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点)
3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想．(难点)
4.能用定积分的定义求简单的定积分．(重点)
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1.通过曲边梯形面积和汽车行驶路程及定积分概念的学习，培养学生的数学抽象及数学运算的核心素养.
2.借助定积分的几何意义及性质的学习，培养学生的直观想象及逻辑推理的核心素养.
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1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
(1)曲边梯形的面积
①曲线梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f (x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
②求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
图① 图②
③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．
(2)求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
2．定积分的概念
如果函数f (x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式ni＝1f (ξi)Δx＝ni＝1 f (ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间[a，b]上的定积分，记作f (x)dx，即f (x)dx＝n→∞∑,\s\up8(n.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式．
思考：f (x)dx是一个常数还是一个变量？f (x)dx与积分变量有关系吗？
[提示] 由定义可得定积分f (x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f (x)dx＝f (t)dt＝f (u)du.
3．定积分的几何意义与性质
(1)定积分的几何意义
由直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴及一条曲线y＝f (x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：
① ② ③
①在区间[a，b]上，若f (x)≥0，则S＝f (x)dx，如图①所示，即f (x)dx＝S.
②在区间[a，b]上，若f (x)≤0，则S＝－f (x)dx，如图②所示，即f (x)dx＝－S.
③若在区间[a，c]上，f (x)≥0，在区间[c，b]上，f (x)≤0，则S＝f (x)dx－f (x)dx，如图③所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)．
(2)定积分的性质
①kf (x)dx＝kf (x)dx(k为常数)；
②[f 1(x)±f 2(x)]dx＝f 1(x)dx±f 2(x)dx；
③f (x)dx＝f (x)dx＋f (x)dx(其中a＜c＜b)．
