1.4 生活中的优化问题举例
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.体会导数在解决实际问题中的作用.
2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)
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1.通过利用导数解决生活中的优化问题的学习，培养学生数学建模的核心素养.
2.借助实际问题的求解，提升学生逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．用导数解决优化问题的基本思路
思考：解决生活中优化问题应注意什么？
[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．
1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f (x)，即f (x)＝－x3＋81x－234.
故f ′(x)＝－x2＋81.令f ′(x)＝0，即－x2＋81＝0，
解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，f ′(x)＞0，函数y＝f (x)单调递增；
当x＞9时，f ′(x)＜0，函数y＝f (x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f (x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f (x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B． C．－1 D．－8
C [由题意，f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，∴x＝1时，f ′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]
4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．
115 [利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]
