1.3.3 函数的最大(小)值与导数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解函数的最值的概念．(难点)
2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)
3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)
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1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.
2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.
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1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
思考：函数的极值与最值的区别是什么？
[提示] 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定f (x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
1．函数f (x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A [f ′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
2．函数f (x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f (2)，f (3) B．f (3)，f (5)
C．f (2)，f (5) D．f (5)，f (3)
B [∵f ′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f ′(x)<0，
故f (x)在[3,5]上单调递减，故f (x)的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．]
3．已知函数f (x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f (x)的最小值为1，则m＝________.
1 [f ′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f ′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f ′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f ′(x)＞0，
∴当x＝0时，f (x)有极小值，也是最小值．
∴f (0)＝m＝1.]
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求函数的最值
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角度1 不含参数的函数最值
【例1】 求下列各函数的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈.
[解] (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
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x
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－2
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(－2，－1)
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－1
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(－1,1)
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1
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(1,2)
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2
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f ′(x)
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＋
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0
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－
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0
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＋
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f (x)
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－1
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↗
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11
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↘
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－1
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↗
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11
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从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f (x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11.
