1.3.2 函数的极值与导数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解极大值、极小值的概念．(难点)
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)
3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
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1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
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1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
思考：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示] 不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0, 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0.当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．
1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
2．函数f (x)＝－的极值点为( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f ′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f ′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f ′(x)＞0,0＜x＜1时f ′(x)＜0，
∴1是f (x)的极小值点．
又x＜0时f ′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]
3．下列关于函数的极值的说法正确的是( )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f (x)在(a，b)内有极值，那么f (x)在(a，b)内不是单调函数
D [由极值的概念可知只有D正确．]
4．函数f (x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
2 [由f ′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表如下：
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x
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(－∞，0)
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0
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(0,2)
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2
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(2，＋∞)
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f ′(x)
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＋
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0
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－
|
0
|
＋
|
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f (x)
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↗
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极大值
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↘
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极小值
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↗
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∴当x＝2时，f (x)取得极小值．]
