1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)
3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
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1.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．
2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
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1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
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f ′(x)的正负
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f (x)的单调性
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f ′(x)＞0
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单调递增
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f ′(x)＜0
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单调递减
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思考：如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)有什么特性？
[提示] f (x)是常数函数．
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：
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导数的绝对值
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函数值变化
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函数的图象
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越大
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快
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比较“陡峭”(向上或向下)
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越小
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慢
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比较“平缓”(向上或向下)
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1．函数f (x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
A [∵x∈(0,6)时，f ′(x)＝1＋＞0，∴函数f (x)在(0,6)上单调递增．]
2．函数y＝f (x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是( )
D [∵函数f (x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，
当x＜0时，f ′(x)＜0.]
3．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．
(0，＋∞) [∵f (x)＝ex－x，
∴f ′(x)＝ex－1.
由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，
即x＞0.
∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]
