1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解复合函数的概念(易混点)．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).
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1.通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.
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1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．已知函数f (x)＝cos x＋ln x，则f ′(1)的值为( )
A．1－sin 1 B．1＋sin 1
C．sin 1－1 D．－sin 1
A [因为f ′(x)＝－sin x＋，
所以f ′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.]
2．函数y＝的导数是( )
A．y′＝ B．y′＝
C．y′＝－ D．y′＝－
C [∵y＝，
∴y′＝－2××(3x－1)′
＝－.]
3．函数y＝ln(x－2)的导数是________．
[答案] y′＝
4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
[答案] y＝，u＝v2＋1，v＝sin x
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复合函数的导数
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【例1】 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
