1.1.3 导数的几何意义
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求导函数．(重点、难点)
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)
4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)
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1.通过导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养.
2.借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.
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1．导数的几何意义
(1)切线的定义
如图所示，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义
导数的几何意义：函数f (x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f ′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
2．导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝ .
思考： f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？
[提示] f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数．
1．若曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f ′(x0) ＝－2 B．f ′(x0) ＝2
C．f ′(x0) ＝－1 D．f ′(x0) ＝1
A [因为直线2x＋y＋1＝0的斜率为－2，由f ′(x0)的几何意义可知f ′(x0) ＝－2.]
2．已知函数f (x)在x0处的导数为f ′(x0)＝1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为________．
45° [设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f ′(x0) ＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.]
3．若函数f (x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
x＋y－3＝0 [切线的斜率为k＝－1.
∴点 A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.]
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导数几何意义的应用
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【例1】 (1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( )
A．f ′(xA)＞f ′(xB)
B．f ′(xA)＜f ′(xB)
C．f ′(xA)＝f ′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f ′(xA)＜f ′(xB)．
