第1章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
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1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.
2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f (x2)－f (x1)＝f (x1＋Δx)－f (x1)是相对于f (x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))是曲线y＝f (x)上任意不同的两点，函数y＝f (x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．
思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即 ＝ .
3．导数的概念
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f ′(x0)或y′|，即f ′(x0)＝ .
1．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)
D [Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故选D.]
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B.]
3．函数f (x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
2 [∵f (x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是
Δx→0 ＝Δx→0 ＝Δx→0
＝Δx→0 (2＋Δx)＝2.]
4．函数f (x)＝2在x＝6处的导数等于________．
0 [f ′(6)＝ ＝ ＝0.]
