第1章 常用逻辑用语
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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四种命题的关系及其真假判断
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【例1】 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．
(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．
[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0．(假)
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0．(真)
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：
逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)
否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)
逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)
1．在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．
2．“p∧q”的否定是“
p∨q”，“p∨q”的否定是“p∧q”．
1．(1)给出下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B．]
(2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
D [命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D．]
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充分条件、必要条件与充要条件
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【例2】 (1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__________．
(1)A (2)3 [(1)由acos A＝bcos B⇒sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A．
