1.4 全称量词与存在量词
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义．
2．掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
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1．通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养．
2．借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养．
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1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”．
(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定
p：∃x0∈M，p(x0)；
特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°．
A．0 B．1
C．2 D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
2．下列命题中特称命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数；
②∃x0∈R，log2x0＞0；
③有的向量方向不确定．
A．0 B．1
C．2 D．3
D [①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]
3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“
p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
[答案] C
4．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1≤0”的否定是________．
[答案] ∀x∈R，x2＋x＋1>0
