1.2 充分条件与必要条件
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
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1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．
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1．充分条件与必要条件
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命题真假
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“若p，则q”是真命题
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“若p，则q”是假命题
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推出关系
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p⇒q
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p q
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条件关系
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p是q的充分条件
q是p的必要条件
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p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
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思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p⇒q．(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
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若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件
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若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件
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若A＝B，则p，q互为充要条件
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若A B且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
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其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x＞0”是“＞0”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
A [当x＞0时，＞0成立；但当＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0．]
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B [若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]
3．“|x－2|≤3”是“－1≤x≤5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C [由|x－2|≤3得－1≤x≤5，故选C．]
4．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
①p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
②p：x>0，y>0，q：xy>0；
③p：a>b，q：a＋c>b＋c．
①③ [在①③中，p⇔q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，q
p，所以②中p不是q的充要条件．]
