1.2 充分条件与必要条件
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
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1．通过充分条件与必要条件的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的素养．
2．借助命题间的条件关系求参数范围问题，提升学生的数学运算素养.
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1．充分条件与必要条件
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命题真假
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“若p，则q”是真命题
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“若p，则q”是假命题
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推出关系
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p⇒q
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p q
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条件关系
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p是q的充分条件
q是p的必要条件
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p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
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思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p⇒q. (2)等价
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A．]
2．用“充分条件”和“必要条件”填空：
(1)“a>0，b>0”是“a＋b>0”的________；
(2)“tan θ＝1”是“θ＝”的________；
(3)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________．
(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件 [(1)∵a>0，b>0，∴a＋b>0，故“a>0，b>0”是“a＋b>0”的充分条件．
(2)∵tan θ＝1，∴θ＝＋kπ，k∈Z，故“tan θ＝1”是“θ＝”的必要条件．
(3)由题意可知p⇒q，q⇒r，∴p⇒r，即p是r的充分条件．]
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
(1)(3) [在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件．]
