【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:
(1) + + ≤a2+b2+c2.
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又abc=1,
故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca= = + + .
当且仅当a=b=c时,取等号.
所以 + + ≤a2+b2+c2.
(2)因为a,b,c为正数且abc、=1,故有
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3
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