1.已知函数f(x)=ex-a(x-1),其中a>0,e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)已知b∈R,若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,求ab的最大值.
【解析】(1)因为f′(x)=ex-a,因为a>0,
由f′(x)=0得,x=ln a,
所以当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,
f(x)单调递减;
当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上可得,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
(2)因为a>0,由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立,
得b≤f(x)min,
因为f(x)min=f(ln a)=2a-aln a,
所以b≤2a-aln a.
所以ab≤2a2-a2ln a,
