25分钟快速训练(二)
1．在足球比赛中，一运动员在距对方球门门柱30 m处将球以18 m/s的初速度沿水平地面踢出，踢出后运动员立即沿地面以2 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动去追赶足球，足球运动到球门处打在门柱上反向弹回，足球与门柱相碰后的动能为碰前动能的。若足球在地面上运动时受到的阻力恒为重力的，运动员能达到的最大速度为8 m/s，之后以该速度做匀速运动，运动员和足球的运动均视为直线运动，且运动员和足球的运动与门柱在同一直线上，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)与门柱碰撞后，足球反向弹回的初速度大小；
(2)该运动员追上足球所用的时间。
[解析] (1)设足球的质量为m，在地面上运动时的加速度大小为a，则由牛顿第二定律可得kmg＝ma，代入数据解得a＝3 m/s2
足球的初速度为v0＝18 m/s，足球刚被踢出时距球门门柱的距离为x＝30 m，设到达门柱时的速度为v，则由匀变速直线运动规律可得v2－v＝－2ax，代入数据解得v＝12 m/s
设足球与门柱碰撞后弹回的初速度大小为v′，则有×mv2＝mv′2
代入数据可得v′＝6 m/s
(2)设足球运动到门柱处所用的时间为t1，则有t1＝
解得t1＝2 s
足球运动员的加速度大小为a′＝2 m/s2，设2 s末运动员的速度大小为v1，则有v1＝a′t1
解得v1＝4 m/s
设t1时间内运动员运动的距离为x1，则有x1＝a′t，解得x1＝4 m＜30 m，故运动员在足球与门柱碰撞前没有追上足球。
设足球从返回到停止运动所用的时间为t2，则有t2＝
解得t2＝2 s
设从足球返回后到停止，足球运动的距离为x2，则有x2＝
解得x2＝6 m
设t2时间内运动员运动的距离为x3，则有x3＝v1t2＋a′t，解得x3＝12 m
此时运动员和足球间的距离为Δx＝x－x1－x2－x3＝8 m
此时运动员的速度大小为v2＝v1＋a′t2＝8 m，即以上分析合理，
由于运动员的速度达到最大，故运动员将做匀速直线运动，设运动员匀速运动的时间为t3，则有t3＝＝1 s
故运动员追上足球所用的总时间为t＝t1＋t2＋t3＝5 s
足球和足球运动员运动的v－t图象如图所示。
2．如图甲所示，平面直角坐标系xOy的第二象限内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B0＝ T、半径r＝0.48 m的圆形磁场区域，MN为该圆形磁场区域的水平直径，在第三象限内有宽度为d1＝0.6 m、方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域。在第四象限内放置一块垂直于x轴、长度刚好与匀强磁场宽度相同的荧光屏，荧光屏到y轴的距离d2＝0.18 m。一比荷为＝2×105 C/kg的带正电粒子从N点以与水平直径MN成α＝30°角斜向上的方向射入该圆形磁场区域，刚好能从圆形磁场边界上的P点竖直向下射出，而后进入匀强磁场，经磁场偏转后打到荧光屏上，不计粒子重力。
(1)求粒子从N点射入圆形磁场时的速度大小v；
(2)求匀强磁场的磁感应强度B的取值范围；
(3)从带电粒子进入第三象限内的匀强磁场开始计时，若其磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)，求粒子从进入第三象限内的匀强磁场至打到荧光屏上所用的时间t总(保留两位有效数字)。
