第5讲 导数与不等式、存在性及恒成立问题
高考定位 在高考压轴题中，函数与不等式交汇的试题是考查的热点，一类是利用导数证明不等式，另一类是存在性及恒成立问题．
真 题 感 悟
(2015·山东卷)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；
(2)若∀x＞0，f(x)≥0成立，求a的取值范围．
解 (1)由题意知，函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝＋a(2x－1)＝.
令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．
①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)＞0，
函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点；
②当a＞0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．
(ⅰ)当0＜a≤时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，
