1．[2015·山西质监]已知函数f(x)＝xln x.
(1)试求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)若x>1，试判断方程f(x)＝(x－1)(ax－a＋1)的解的个数．
解 (1)f′(x)＝ln x＋x·＝1＋ln x，∴f′(e)＝2，又f(e)＝e，∴切线方程为2x－y－e＝0.
(2)方程f(x)＝(x－1)(ax－a＋1)的解即为方程ln x－＝0的解．
设h(x)＝ln x－，x>1.
则h′(x)＝－＝－，x>1.
当a＝0时，h′(x)>0，h(x)为增函数，∴h(x)>h(1)＝0，方程无解．
当a≠0时，令h′(x)＝0得x1＝1，x2＝.
当a<0，即x2＝<1时，∵x>1，∴h′(x)>0，则h(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴h(x)>h(1)＝0，方程无解．
